关于抛99次硬币的问题

前一阵工作室的群里有人提起如果抛99次硬币都是正面,那第100次是正面的概率是多少。这算是一个比较经典的问题,它想说明的是抛硬币是独立重复试验,其结果是无记忆的随机过程,反衬一般人喜欢落入的赌徒心理陷阱。一般人都知道这个问题的答案是0.5,但是如果条件只有这些的话,是不能得出这个结论的,因为这个问题只暗含抛硬币有两种结果(服从伯努利分布),并没有说硬币是均匀的。而如果硬币不均匀,只要内部物质分布不改变,那么对试验结果的影响就能完全体现在这个“正面向上”的概率上。

那么,回答这个问题的思路就是:从过去的经验(99次都是正面)中估计出伯努利分布的参数,然后再用它计算下一次特定结果的概率。数理统计挂过两次的我已经不知道估计这个问题的参数用到的是不是点估计了,但是只用概率论的知识也能估计出来。首先要设定一个置信水平,简单地讲就是假如我估计出一个值以后希望用它套到已有的经验中,那么可得出过去的数据发生的概率是多少。比方说,假如我把置信水平定在95%,然后我估计出伯努利分布的参数 p=0.7 ,那么意思就是说,如果按照这个参数重新计算以前有的试验结果,那么该结果发生的概率为95%。

就拿95%作为这个问题的置信水平吧,再假设硬币朝上为1、朝下为0,而投硬币结果服从的伯努利分布参数为 p 。那么,在这种情况下还想保证连续投99次都是正面朝上的概率为0.95,就可以列出方程:

p ^ 99 = 0.95

用计算机可以算得p约等于0.99948202。也就是说,这个硬币是如此地不均匀,以至于随便投一次正面朝上的概率要为99.948202%,才能保证连续投99次全都正面朝上的概率为95%。

这个结果取决于一开始取的置信水平,如果把置信水平再设得苛刻一些,比如99%,那么此时 p 约等于 0.99989849 。

最后一步很简单了,要预测的事件(第100次正面朝上)的概率就是 p 。

这个过程虽然依赖于前99次的试验结果,但是与假设“硬币有记忆”有着本质的不同。

所以,当下次有人再提到这个问题,而芸芸众生都说50%的时候,你可以淡定地说:既然没说硬币一定均匀,那么根据前99次的试验结果,如果在置信水平为95%的前提下进行估计,那么第100次正面朝上的概率大概是99.948202%。

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2 thoughts on “关于抛99次硬币的问题

  1. 啊……概率本质是测量值的极限,来自于对大量事件的统计,作用是对于下次事件的估计。假如你说投硬币那很多人就会陷入50%的思维定势;而如果你说投一个醱僃蕡褺韟很多人就会认真算了。

    • 啊,你说的那种方法貌似是极大似然估计,而且只对样本空间有限的情况有效,用这种方法估计这个问题的话那结果就是1。
      说抛硬币的时候意思是试验结果服从伯努利分布,而抛醱僃蕡褺韟所暗含的信息也应当是所服从的分布模型。

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